Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a + 0 = a
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · b = b · a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a · 1 = a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.
REFERENCIA
http://docente.ucol.mx/grios/aritmetica/numenatu.htm
Por: Dra. Luz M. Rivera Vega
Universidad Interamericana de Puerto Rico - Ponce
Objetivo: Resolver ecuaciones lineales en una variable
Propiedad de la igualdad de la suma:
Sean a, b y c números reales cualesquiera, si a = b entonces a + c = b + c.
Orejita:
La Propiedad de la igualdad de la suma significa que como el signo de igualdad es similar a una balanza, lo que se sume a un lado del signo debe ser sumado al otro lado de la igualdad para mantener el balance o la igualdad.
Por ejemplo:
4 = 3 + 1 entonces 4 + 5 = 3 + 1 + 5
Podemos observar que: 9 = 9
Esta propiedad la podemos usar al resolver ecuaciones:
Veamos: Fíjate que los signos de igualdad (=) deben estar uno debajo del otro
Ejemplo 1
x - 4 = 7 que es lo mismo que
x + -4 = 7 ahora para dejar la x sola vamos a
x + -4 + 4 = 7 + 4 sumar 4 en ambos lados usando la Propiedad
x + 0 = 11 de la suma para la igualdad
x - 4 = 7 que es lo mismo que
x + -4 = 7 ahora para dejar la x sola vamos a
x + -4 + 4 = 7 + 4 sumar 4 en ambos lados usando la Propiedad
x + 0 = 11 de la suma para la igualdad
x= 11
Comprobación
x - 4 = 7 Sustituimos la x por 11 y comprobamos
11 - 4 = 7 si tenemos una igualdad. Observamos que resulta
en una igualdad.
11 - 4 = 7 si tenemos una igualdad. Observamos que resulta
en una igualdad.
Ejemplo 2
x - 1 = 6 (Recuerda que restar un número es igual
8 8 sumar su opuesto.)
8 8 sumar su opuesto.)
x+ -1 = 6 Ahora para dejar la x sola, le sumamos a
8 8 un número que dé como resultado cero.
8 8 un número que dé como resultado cero.
x + -1 + 1 = 6 + 1 Ese número es el opuesto de -1/8 o sea 1/8.
8 8 8 8 Pero si sumamos 1/8 es un lado de la
ecuación tenemos que sumarlo al otro lado
8 8 8 8 Pero si sumamos 1/8 es un lado de la
ecuación tenemos que sumarlo al otro lado
x + 0 = 7 por la Propiedad de la suma para la igualdad.
8
8
x = 7
8
Comprobación
x - 1 = 6 Sustituimos la x por 7/ 8 y comprobamos
8 8 si tenemos una igualdad.
8
Comprobación
x - 1 = 6 Sustituimos la x por 7/ 8 y comprobamos
8 8 si tenemos una igualdad.
7 - 1 = 6
8 8 8
6 = 6 Observamos que resulta en una igualdad.
8 8
8 8 8
6 = 6 Observamos que resulta en una igualdad.
8 8
Los procedimientos de los dos ejemplos anteriores de pueden acortar si observamos que al resolver una ecuación lo que buscamos es aislar la variable ( dejarla sola) y cuando aplicamos la Propiedad de la Igualdad de la suma el número que está suma a la variable, aparece al otro lado de la ecuación con el signo opuesto. Veamos estos ejemplos de nuevo.
Ejemplo 1
x - 4 = 7
x + -4 = 7
x = 7 + 4
x = 11
x - 4 = 7
x + -4 = 7
x = 7 + 4
x = 11
Ejemplo 2
x - 1 = 6
8 8
x + -1 = 6
8 8
x = 6 + 1
8 8
x = 7
8
x - 1 = 6
8 8
x + -1 = 6
8 8
x = 6 + 1
8 8
x = 7
8
Veamos algunos ejemplos más:
Ejemplo 3 Resuelve x + 5 = -9
Solución:
x + 5 = -9
x = -9 + 5
x = -4
Ejercicios de Práctica:
1. x + 9 = 12 6. x - 9 = 5
1. x + 9 = 12 6. x - 9 = 5
2. x + 4 = 1 7. x - 10 =3
3. x + 5 = 9 8. x - 3 = 8
4. x + 1 = 5 9. x - 2 = 9
7 7 11 11
7 7 11 11
5. x + 2 = 5
9 9
Soluciones:
9 9
Soluciones:
1. x + 9 = 12 x + 9 + - 9 = 12 + - 9 x + 0 = 3 x = 3 2. x + 4 = 1 x + 4 + - 4 = 1 + - 4 x + 0 = 1 + -4 x = -3 3. x + 5 = 9 x + 5 + - 5 = 9 + - 5 x + 0 = 4 x = 4 4. x + 1 = 5 7 7 x + 1 + - 1 = 5 + - 1 7 7 7 7 x + 0 = 4 7 x = 4 7 5. x + 2 = 5 9 9 x + 2 - 2 = 5 - 2 9 9 9 9 x + 0 = 3 9 x = 3 ÷ 3 = 1 9 3 3 | 6. x - 9 = 5 x + -9 = 5 x + -9 + 9 = 5 + 9 x + 0 = 14 x = 14 7. x - 10 = 3 x + -10 = 3 x + -10 + 10 = 3 + 10 x + 0 = 13 x = 13 8. x - 3 = 8 x + -3 = 8 x +-3 + 3 = 8 + 3 x + 0 = 11 x = 11 9. x - 2 = 9 11 11 x + -2 = 9 11 11 x + -2 + 2 = 9 + 2 11 11 11 11 x + 0 = 11 11 x + 0 = 1 x = 1 |
Propiedad de la igualdad de la multiplicación
Sean a. b, y c números reales cualesquiera, si a = b entonces, a · c = b · c
Orejita:
La Propiedad de la igualdad de la multiplicación significa que como el signo de igualdad es similar una balanza, lo que se multiplique a un lado del signo debe ser multiplicado al otro lado de la igualdad para mantener el balance o la igualdad.
Por ejemplo: 4 = 3+1 entonces 5(4) = 5(3 + 1)
Podemos observar que: 20 = 20
Ejemplo 1:
Observa que el objetivo de resolver una ecuación es aislar la variable.
Resuelve: 4x = 28
Aprovechando la propiedad de la igualdad de la multiplicación, podemos multiplicar 4 por un número que de uno. En el caso del 4 , 1/4 es el recíproco, de modo que se multiplican ambos lados de la ecuación por 1/4. |
Solución:
4x = 28
4x = 28 · 1
4 1 4 r
4x = 28 l
4 4
x = 7
Comprobación:
4x = 28
4(7) = 28
Ejemplo 2 Resuelve
4 x = 12 7 Solución 7 · 4 x = 12 · 7 4 7 1 4 28 x = 84 28 4 x = 21 | Debemos buscar un número que al multiplicarlo por 4/7 el resultado sea 1. El número que buscamos es el recíproco de 4/7, o sea 7 |
Ejemplo 3:
x = 27 9 1 x = 27 9 9 · 1 x = 27 9 9x = 27 9 9 x = 3 | x es los mismo que 1 x 9 El recíproco de 1 es 9 9 |
Ejercicios de Práctica:
1. -3x = 8
2. 6x = -15
3. x = 56
9
4. 2x = -16
5
Soluciones
1. -3x = 8 -1 · -3 = 8 · -1 3 1 1 3 3x= -8 3 3 x = -8 3 | 3. x = 56 9 1 x = 56 9 9 · 1 x = 56 · 9 1 9 9 x 9 |
2. 6x = -15 1 · 6x = -15 · 1 6 1 1 6 6 x = -15 6 6 x = -15 6 x = -1· 2 · x = -5 2 | 4. 2x = -16 5 5 · 2x = -16 · 5 2 5 1 2 10x = -1· 10 x = -40 |
http://ponce.inter.edu/cremc/igualdadnew.htm
